回归模型的建立、检验

建立回归模型

1. 平均数法
   • 将数据按奇偶分为两组，然后分别带入回归方程，形成二元一次方程组后分别解出$a, b$
2. 最小二乘法
   • 误差平方和最小原理，即 $\min \sum(Y_{i}-\hat{Y}_{i})^{2}$
   • $b = \frac{\sum{(X-\bar{X})(Y-\bar{Y})}}{\sum{(X-\bar{X})^{2}}}$ or $b_{Y \cdot X} = r\cdot \frac{s_{Y}}{s_{X}}$
   • $a = \bar{Y} - b \bar{X}$

回归模型的检验

1. 方差分析
   • 利用方差分析对回归模型的有效性进行检验 $$\sum{(Y - \bar{Y})^{2}} = \sum{(\hat{Y} - \bar{Y})^{2}} + \sum{(Y - \hat{Y})^{2}}$$
   • 方差分析表

1. 假设检验
   • 对回归系数进行显著性检验
   • 回归系数服从t分布，使用t检验
     • H0 $\beta = 0$
     • H1 $\beta \ne 0$
   • $t = \frac{b-\beta}{SE_{b}}$
   • $SE_{b} = \sqrt{\frac{S^{2}_{YX}}{\sum{(X-\bar{X})^{2}}}} \quad \text{for } S_{YX} = \sqrt{\frac{\sum{(Y-\hat{Y})^{2}}}{N-2}} = \sqrt{MS_{E}}$
   • S_{YX}代表误差的标准差
   • 对回归系数的假设检验和对相关系数的假设检验会产生相同的结果