平均数的显著性检验

• 对样本平均数和总体平均数之间的差异是否显著进行检验。
• 包含四类
  1. 总体正态，总体方差已知
  2. 总体正态，总体方差未知
  3. 总体非正态，大样本，总体方差已知
  4. 总体非正态，大样本，总体方差未知

假设检验的步骤

1. 根据问题提出虚无假设和备择假设
   • $\text{H0: }\mu_{1} = \mu_{0} \quad \text{H1: } \mu_{1} \ne \mu_{0}$
2. 选择适当的检验统计量
   • 选择样本平均数、计算标准误$SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$，得到平均数的样本分布
3. 规定显著性水平
   • $\alpha = 0.05$，计算置信区间
4. 计算检验统计量的值
   • $\frac{\bar{X} - \mu}{SE_{\bar{X}}}$
5. 做出决策
   • 看小概率事件是否发生。未发生，H0成立；发生，H1成立

计算

1. 总体正态，总体方差已知
   • 均值的抽样分布呈正态分布
   • $SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$
   • 使用Z检验，$Z = \frac{\bar{X} - \mu}{SE_{\bar{X}}}$
   • 注 总体非正态，大样本($n>30$)，总体方差已知，近似正态分布，同上
2. 总体正态，总体方差未知
   • 均值的抽样分布呈t分布
   • $SE_{\bar{X}} = \frac{s}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})^{2}/(n-1)}}{n} \quad \text{for } s \text{ is the unbiased estimation of } \sigma$
   • 使用t检验，$t = \frac{\bar{X} - \mu}{SE_{\bar{X}}}$
   • 注 总体非正态，大样本($n>30$)，总体方差未知，近似t分布，同上