方差分析的基本原理

• 又称变异分析，探讨一个因变量和一个或多个自变量之间的关系的一种假设检验方法。
• 方差分析的功能在于分析实验数据中不同来源的变异对总变异贡献的大小，从而确定自变量是否对因变量有影响
• 从统计上说，方差分析主要处理两个及以上的平均数之间的差异检验的问题。

假设

• 假设有3个样本，每个样本的平均数是$\bar{X}_{1}、\bar{X}_{2}、\bar{X}_{3}$
  • ${\rm H_{0}}\ \mu_{1} = \mu_{2} = \mu_{3}$
  • ${\rm H_{1}}\ \mu_{1}、\mu_{2}、\mu_{3}\text{中至少存在一组是有差异的}$
• 若H0被拒绝，需要知道到底是哪两组平均值有显著性差异，需要做“部分虚无假设”
  • $\mu_{1} = \mu_{2} \quad \mu_{2} = \mu_{3} \quad \mu_{1} = \mu_{3}$

方差的可分解性(可加性)

• 方差分析将总变异分解为若干个不同来源的分量，用**平方和$(SS)$表示 $$\begin{array}{c} s_{T}^{2} = \frac{\sum{n_{i}s_{i}^{2}} + \sum{n_{i}d_{i}^{2}}}{\sum n_{i}} \\ \big\Downarrow \\ \sum{n_{i}} \cdot s_{T}^{2} = \sum{n_{i} s_{i}^{2}} + \sum{n_{i}d_{i}^{2}} = SS_{w} + SS_{b} = SS_{T} \end{array}$$
• 总变异$(SS_{T})$由两部分构成
  • 组间差异$(SS_{b})$ 主要由于接受不同实验处理造成的各组之间的变异，主要指处理效应。
  • 组内变异$(SS_{w})$ 由于实验中一些希望加以控制的非实验因素和一些未被有效控制的未知因素造成的变异，主要指个体差异、随机误差。

如何检验

• 检验时，方差分析主要关心组间均方$({\rm MS_{B}})$是否显著大于组内均方$({\rm MS_{W}})$

$$\begin{array}{c} {\rm MS_{B}} = \frac{SS_{b}}{df_{b}} \quad {\rm MS_{W}} = \frac{SS_{w}}{df_{w}} \\ F = \frac{\rm MS_{B}}{\rm MS_{W}} \sim F_{df_{b}, df_{w}} \end{array}$$

• 目的 检验各自代表的总体方差是否一致，即变量带来的影响是否还在随机误差带来的影响范围内。
• 若F落入置信区间(95% or 99%)内，意味着实验处理造成的差异没有超出随机误差的范围，接受综合虚无假设；否则，拒绝综合虚无假设。

方差分析步骤

1. 计算平方和$SS$
2. 求自由度$df$
3. 计算均方${\rm MS} = \frac{SS}{df}$
4. 计算F值
5. 查单侧F表进行F检验
6. 陈列方差分析表

基本假定

1. 总体正态分布 要求样本必须来自正态分布的总体
2. 变异来源独立 不同来源的变异在意义上必须明确，而且彼此要相互独立。
3. 各处理内方差齐性 即各处理内的方差彼此应无显著差异，这是方差分析中最为重要的基本假定。
   • 方差齐性检验采用哈特莱(Hartley)的最大F比率法: $F_{\max} = \frac{s^{2}_{\max}}{s^{2}_{\min}}$，求出各样本中方差最大值和最小值的比，通过查表判断。

基本概念

1. 因素/变量
2. 水平
3. 处理
4. 主效应
5. 交互作用
6. 简单效应
7. 完全随机设计/组间设计
8. 重复测量设计/组内设计
9. 混合设计