二项分布

二项实验与二项分布

二项实验

• 任何一次实验只有两个结果，$A$和$A^{-}$
• 共有$n$次实验，并且是$n$是预先给定的任意整数
• 每次实验各自独立，各此试验之间无相互影响
• 某种结果出现的概率在任何一次试验中都是固定的

二项分布的定义

• 设有$n$次实验，每次试验彼此独立，每次试验某事件出现的概率都是$p$，某事件不出现的概率都是$q = 1-p$，则对于某事件出现$X$次($X\in [0,n]$)的概率分布为 $$b(x,n,p) = C_{n}^{x}p^{x}q^{(n-x)}, \quad \text{ for } x = 1,2, \cdots, n$$

二项分布的性质

特点

1. 二项分布是离散型分布，概率直方图是越阶式的。
   • $p = q$时图形对称
   • $p \ne q$时成偏态，若$n$很大，二项分布接近于正态分布
2. 若二项分布满足$np \ge 5 \text{ and } nq \ge 5$，二项分布接近正态分布 $$\mu = np, \quad \sigma = \sqrt{npq}$$

应用

• 解决含有随机性质的问题
  • 10道判断题，答对多少道才是不出于猜测

$$\begin{array}{ll} \because & \text{由题目意可知} p = 0.5 = q, n = 10 \\ \therefore & \text{答对题目的个数总体服从}\mu = np = 5, \sigma = \sqrt{npq} = \frac{\sqrt{10}}{2} \approx 1.58\text{的正态分布} \\ \because & \frac{X - \mu}{\sigma} > 1.645\\ \therefore & X \ge 8\\ \end{array}$$

注意此处是单尾检验

补充(示例)

• Julia Code

# import modules
using Distributions, Plots

# setting the probability as 0.3
p = 0.3;
# manipulate the times of experiments from 1 to 100
anim = @animate for n in 1:100
    bi_dis = Binomial(n,p);
    # setting the sampling size as 1000
    bi_sample = rand(bi_dis,1000);
    histogram(bi_sample, normalize=true);
    plot!(x -> pdf(Normal(n*p,sqrt(n * p * (1-p))),x), 
    xlims=[minimum(bi_sample)-1, maximum(bi_sample)+1], 
    legend=:none, title="n*p= "*string(n*p)*", p=0.3, n="*string(n));
end

gif(anim,"t.gif", fps=5)

• Animation