区间估计

含义

• 用数轴上的一段距离表示未知参数可能会落入的范围。
• 评价
  • 在点估计的基础上，不仅给出了一个估计范围，还能说明估计结果的把握程度(正确率)
  • 精确度不高

显著性水平和置信水平

1. 显著性水平$\alpha$
   • 我们认为总体参数会落入某一区间，这个判断错误发生的概率，用$\alpha$表示。
2. 置信水平$1-\alpha$
   • 又称置信度，即估计的正确率，用$1-\alpha$表示。

置信区间

• 在某一置信水平下，总体参数所在的区域距离或长度。
• 影响置信区间的因素
  • 样本容量$n$ $n$越大，标准误越小，置信区间越小；
  • 置信水平 置信水平越大，置信区间越宽
  • 总体方差/样本方差 数据变异性越大，对于同等置信度，置信区间越宽
• 原理 依据样本分布，利用样本分布提供概率解释，以标准误的大小决定置信区间的长度。

总体平均数的估计

• 总体正态，总体方差已知，均值样本分布呈正态分布 $$\bar{X} - Z_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} < \mu < \bar{X} + Z_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} \quad \text{for }SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
• 总体非正态，总体方差已知，大样本容量($n>30$)，均值的样本分布近似正态 $$\bar{X} - Z_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} < \mu < \bar{X} + Z_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} \quad \text{for }SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$$
• 总体正态，总体方差未知，均值的样本分布呈t分布，$df=n-1$ $$\bar{X} - t_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} < \mu < \bar{X} + t_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} \text{for }SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(X_{i} - \bar{X})^{2}}/(n-1)}}{\sqrt{n}}$$
• 总体非正态，总体方差未知，大样本容量($n>30$)，均值的样本分布近似t分布，$df=n-1$ $$\bar{X} - t_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} < \mu < \bar{X} + t_{\alpha/2}SE_{\bar{X}} \text{for }SE_{\bar{X}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{\sqrt{\sum_{i=1}^{n}{(X_{i} - \bar{X})^{2}}/(n-1)}}{\sqrt{n}}$$

两总体方差之比的估计

$$\begin{array}{ll} \because & F = \frac{s_{1}^{2}/\sigma_{1}^{2}}{s_{2}^{2}/\sigma_{2}^{2}} \sim F(df_{1}, df_{2}) \text{ and } F_{1-\alpha} < F < F_{\alpha}\\ \therefore & F_{1-\alpha}\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} < \frac{\sigma^{2}_{1}}{\sigma^{2}_{2}} < F_{\alpha}\cdot\frac{s^{2}_{1}}{s_{2}^{2}}\\ \because & F_{\alpha}(df_{1},df_{2}) = \frac{1}{F_{1 - \alpha}(df_{2},df_{1})} \\ \therefore & \color{#D0104C}{F_{\alpha}(df_{1},df_{2})\cdot\frac{s_{1}^{2}}{s_{2}^{2}} < \frac{\sigma^{2}_{1}}{\sigma^{2}_{2}} < \frac{1}{F_{\alpha}(df_{2},df_{1})}\cdot\frac{s^{2}_{1}}{s_{2}^{2}}}\\ \end{array}$$