全距与百分位差

全距

$$R = X_{\max} - X_{\min}$$

评价

• 不稳定、不可靠、不灵敏；
• 易受极端值的影响；

百分位差

百分等级

• 低于某测验的人数百分比

计算

未分组

$$P_{R} = 100 \cdot \bigg(1 - \frac{R-0.5}{N}\bigg)$$

$R$

排序后(从大到小)所在的秩次

$N$

总数

已分组

$$P_{R} = \frac{100}{N} \cdot \bigg(F_{b} + \frac{(X-L_{b})}{i}\cdot f\bigg)$$

$N$

总数

$F_{b}$

低于所在组以下的频次

$L_{b}$

所在组的精确下限

$f$

所在组的频次

$i$

组距

百分位数

• 位于某一百分等级的原始数据。

计算

未分组

• 从大到小排序
• 找出第$\big(1 - \frac{P_{R}}{100}\big)\cdot N + 0.5$个元素

已分组

$$P_{p} = L_{b} + \frac{i}{f}\bigg(\frac{P_{R}}{100} \cdot N - F_{b}\bigg)$$

• 注 $P_{45} = 65$代表：低于65分的人占总数的45%。

百分位差

• 一个百分位数与另一个百分位数之间的差值

优点

• 容易理解
• 容易计算
• 收到两极数值的影响较小

缺点

• 不能反映分布的中间数值的差一情况
• 稳定性较差

四分位差

$$Q = \frac{Q_{3} - Q_{1}}{2} = \frac{P_{75} - P_{25}}{2}$$