完全随机设计的方差分析

单因素完全随机设计

组间设计、被试间设计
1个自变量，水平为 $k$
$k>2$
实验组数=实验处理数=自变量水平数
变异来源
- 自变量 $SS_{b}$
- 其他(测量误差、被试差异、偶然因素造成的差异) $SS_{w}$
观测值=群体均值+自变量+误差
- $Y_{ij} = \mu + \alpha_{j} + \epsilon_{i(j)} \quad \text{for } i = 1,2,\cdots,n_{j};\ j = 1,2,\cdots,p.$
  
  $n_{j}$
  
  自变量 $\alpha$ 位于 $j$ 的组的样本量
  
  $p$
  
  自变量 $\alpha$ 的水平

方差分析表

变异来源	平方和	自由度	均方	$F$	$p$
组间变异	$SS_{b}$	$df_{b} = k-1$	$SS_{b}/df_{b}$	${\rm MS_{b}/{MS_{w}}}$	$< \text{ or } > \alpha$
组内变异	$SS_{w}$	$df_{w} = n-k$	$SS_{w}/df_{w}$	-	-
总变异	$SS_{T}$	$df_{T} = n-1$	-	-	-

数据

数据关系
1. 总自由度 $df=N-1$ ， $N$ 是数据量，1个处理在1个被试身上产生1各数据。
2. $df_{T} = df_{b} + df_{w}$
3. 自变量的自由度 = 自变量水平 - 1
4. F检验的分布永远是误差项的均方
5. 组内变异是误差项
结果
1. 1个主效应
2. 主效应显著且自变量水平>2时，需要进行事后检验。

两因素完全随机设计

组间设计、被试间设计
2各自变量A、B，水平数分别为 $a、b$
$a \le 2; b \le 2$
该实验被描述为 $a\times b$ 的实验
实验组数 = 实验处理数 = $ab$
变异来源有2类四个
- 个组之间的变异
  - A变量 $SS_{A}$
  - B变量 $SS_{B}$
  - 其他两变量的交互作用 $SS_{A \times B}$
- 其他 $SS_{w}$
观测值=群体均值+A变量影响+B变量影响+A×B影响+误差
- $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha\beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)} \quad\text{for } i=1,2,\cdots,n_{jk};\ j=1,2,\cdots,p;\ k=1,2,\cdots,q.$
  
  $n_{jk}$
  
  自变量 $\alpha$ 位于 $j$ ， $\beta$ 位于 $k$ 的组的样本量
  
  $p$
  
  自变量 $\alpha$ 的水平数
  
  $q$
  
  自变量 $\beta$ 的水平数

方差分析表

变异来源	平方和	自由度	均方	$F$	$p$
组间	$SS_{b}$	$k-1=ab-1$	-	-	-
A因素	$SS_{A}$	$a-1$	${\rm MS_{A}}$	${\rm MS_{A}}/{\rm MS_{w}}$	$< \text{ or } > \alpha$
B因素	$SS_{B}$	$b-1$	${\rm MS_{B}}$	${\rm MS_{B}/{\rm MS_{w}}}$	$< \text{ or } > \alpha$
A×B	$SS_{AB}$	$(a-1)(b-1)$	${\rm MS}_{AB}$	${\rm MS_{AB}}/{\rm MS_{w}}$	$< \text{ or } > \alpha$
组内	$SSw$	$N-k=N-ab$	${\rm MS_{w}}$	-	-
总变异	$SS_{t}$	$N-1$	-	-	-

数据

数据关系
1. 总自由度 $df = N-1$ ， $N$ 是数据量
2. $df_{t} = df_{b} + df_{w} = df_{A} + df_{B} + df_{AB} + df_{w}$
3. 自变量的自由度=自变量水平-1
4. 交互作用的自由度=自变量A的自由度×自变量B的自由度
5. F检验的分母永远是误差项的均方
6. 组内变异是误差项
结果
1. 2个主效应，1各交互作用
2. 主效应显著且自变量水平>2时，需要进行事后检验
3. 交互作用显著，需要进行简单效应检验

单因素随机区组设计

1个自变量
自变量的水平 $k\le 2$
处理数=自变量水平数
1个区组变量，属于控制变量/无关变量
区组变量水平 $n\le 2$
区组数=区组变量水平数
区组内的被试数量=自变量水平数× $m \quad \text{for } m \ge 1$
设计原则：区组内尽量同质，区组间尽量异质
优点：考虑了个体差异(区组效应)并将这种差异从组内变异中分离，提高实验效率，可以获得对处理效应的更加精确的估计；
缺点：区组划分较为困难，若不能保证区组内同质，则有更大的误差。
和重复测量设计的差异：区组设计仅在区组变量这一项上有所控制；重复测量在所有被试的变量上都进行了控制。
变量的来源 2类3个
- 组间变异 $SS_{b}$
- 组内变异 $SS_{w}$
- 区组间变异 $SS_{R}$
- 其他变异 $SS_{E}$
观测值=群体均值+区组差异+自变量影响+误差
- $Y_{ij} = \mu + \alpha_{j} + \pi_{i} + \epsilon_{i(j)}\quad \text{for }i=1,2,\cdots,n_{j};\ j=1,2,\cdots,p$
  
  $\pi_{i}$
  
  区组效应，来一一个均值为0，方差为 $\sigma_{pi}^{2}$ 的正态分布的总体

方差分析表

变异来源	平方和	自由度	均方	$F$	$p$
组间	$SS_{b}$	$k-1$	${\rm MS_{b}}$	${\rm MS_{b}/MS_{e}}$	$< \text{ or } > \alpha$
组内	$SS_{w}$	-	-	-	-
区组	$SS_{R}$	$n-1$	${\rm MS_{R}}$	-	-
误差	$SS_{E}$	$N-n-k+1$	${\rm MS_{E}}$	-	-
总变异	$SS_{t}$	$N-1$	-	-	-

数据

数据关系
1. 总自由度 $df = N-1$ ， $N$ 是数据量
2. $df_{t} = df_{b} + df_{w} = df_{b} + df_{R} + df_{E}$
3. 自变量的自由度=自变量水平-1
4. F检验的分母永远是误差项的均方
结果
1. 1个主效应
2. 主效应显著且自变量水平>2时，需要进行事后检验

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