方差齐性检验

样本方差与总体方差的检验($\chi^{2}$检验)

$$\chi^{2} = \frac{n\cdot s^{2}}{\sigma^{2}_{0}} \sim \chi^{2}_{n-1} \quad \text{for } s^{2} = \frac{\sum_{i=1}^{n}(X_{i} - \bar{X})}{n}$$

• 计算$\chi^{2}$值 $df = n-1$
• 检验$\chi^{2}$的值是否在置信区间内 $$\chi^{2}_{(1 - \alpha/2)} < \chi^{2} < \chi^{2}_{\alpha/2}$$

两个样本之间的差异显著性的检验

• 进行平均数差异的显著性检验/方差分析之前，需要先进性方差齐性检验
• 独立样本(F检验)
  • 若$\sigma_{1}^{2} = \sigma_{2}^{2}$，$\frac{s_{n_{1} - 1}^{2}}{s_{n_{2} - 1}^{2}} \sim F_{n_{1}-1, n_{2}-1}$
  • 计算$F = \frac{s_{n_{1}-1}^{2}}{s_{n_{2}-1}}$
  • 检验F值是否在置信区间内$\frac{1}{\alpha/2} < F < F_{\alpha/2}$
  • 一般为了简便运算，采用$F = \frac{s^{2}_{大}}{s^{2}_{小}}$
• 相关样本(t检验) $$t = \frac{s_{1}^{2} - s^{2}_{2}}{\sqrt{\frac{4s_{1}^{2}s_{2}^{2}(1-r^{2})}{n-2}}}$$